Razones (trigonométricas) para creer en las matemáticas

Caricatura de Galileo

Tumba de Galileo, Iglesia de Santa Croce (Florencia)

"Sr. Sarsi, las cosas no son así. La filosofía (en la época de Galileo, todas las ramas del conocimiento) está escrita en ese grandísimo libro que tenemos abierto ante los ojos, quiero decir, el universo, pero no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua, a conocer los caracteres en lo que está escrito. Está escrita en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente en un oscuro laberinto."

Galileo Galilei: Il Saggiatore

Galileo quiso decir que la naturaleza se describe utilizando las matemáticas. Veamos algunos ejemplos de casos en la naturaleza donde aparecen las razones trigonométricas (recuerda que razón de dos cantidades es su cociente) seno, coseno y tangente:

1         1. Ondas.  Las ondas en el agua, el sonido, la luz son ejemplos de ondas. Según la mecánica cuántica las partículas también se comportan como ondas. El movimiento de una onda se describe utilizando las razones trigonométricas.  Por ejemplo, para una onda en el agua, la altura y  que alcanza el agua en un punto x está dada por la fórmula

y(x) = Asen (2π x/T + φ)

       donde A es la altura máxima de la onda, T es el periodo de la onda (el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima) y φ es un número (denominado fase inicial de la onda). 

 

 
2. Ley de refracción de la luz. Cuando un rayo de luz pasa de un medio a otro, por ejemplo del agua a la luz, el ángulo de refracción y el ángulo de incidencia se relacionan mediante una fórmula en la cual aparece el seno de los ángulos: 

n₁senα = n₂senγ

donde n₁ y n₂ son los índices de refracción de los medios que indican la velocidad de luz en ellos.

(En la imagen también aparece  la ley de reflexión para los rayos reflejados    α = β )

1       3. Corriente eléctrica alterna. La corriente alterna tiene  el aspecto de una función trigonométrica (seno o coseno). El flujo eléctrico cambia constantemente con el tiempo, de manera la intensidad I y el voltaje V aumentan  hasta  llegar a un máximo para luego disminuir hasta cero (al que contrario que la corriente continua, donde siempre tienen el mismo valor). Todos los aparatos modernos que funcionan con corriente alterna tienen alguna relación con las funciones trigonométricas o con alguna combinación de ellas.  El voltaje V en una aparato con corriente alterna viene dado por

V(t) = V_maxsen (2πft)

donde V_max es el valor  máximo del voltaje, f  es la frecuencia de la corriente eléctrica y t es el tiempo.

En la denominada “Guerra de corrientes” Thomas Alva Edison defendió el uso de la corriente continua (DC) frente a Nikola Tesla quien desarrolló una tecnología muy superior basada en la corriente alterna (AC).  En esta particular guerra hubo muertes …  de perros y hasta de un elefante. Para saber más entra aquí.

Les Luthiers - Teorema de Thales

El Teorema de Thales explicado por el grupo Les Luthiers:

La letra de la canción es la siguiente:

Si tres o más paralelas, si tres o más parale-le-le-las
Si tres o más paralelas, si tres o más parale-le-le-las
Son cortadas por dos transversales
Son cortadas por dos transversales
Si tres o más parale-le-le-las
Son cortadas, son cortadas
Dos segmentos de una de estas, dos segmentos cualesquiera
Dos segmentos de una de estas son proporcionales
a los dos segmentos correspondientes de la otra.

a paralela a b,
b paralela a c,
a paralela a b, paralela a c, paralela a d
OP es a PQ
MN es a NT
OP es a PQ como MN es a NT 
(OP/PQ = MN/NT)
a paralela a b,
b paralela a c
OP es a PQ como MN es a NT



La bisectriz yo trazaré y a cuatro planos intersectaré
Una igualdad yo encontraré: OP más PQ es igual a ST  (OP + PQ = ST)
Usaré la hipotenusa
Ay no te compliques, nadie la usa
Trazaré, pues, un cateto
Yo no me meto, yo no me meto.

Triángulo, tetrágono, pentágono, hexágono,
heptágono, octógono, son todos polígonos
Seno, coseno, tangente y secante,
y la cosecante, y la cotangente
Thales, Thales de Mileto
Thales, Thales de Mileto
Que es lo que queríamos demostrar.

Quesque loque loque queri queri amos
demos demos demostrar.

Página oficial de Les Luthiers: www.lesluthiers.com/

Newton demuestra a Kepler su ley

Isaac Newton

Johannes Kepler

Veamos cómo se demuestra a partir Ley de gravitación universal (LGU) de Newton la Tercera ley de Kepler (los cuadrados de los periodos de los planetas son proporcionales a los cubos de los radios de sus órbitas). Según la LGU la fuerza gravitatoria entre el Sol de masa M y un planeta de masa m que orbita alrededor de él en una órbita circular de radio r es  

F_g= GMm/r²

Igualando la fuerza gravitatoria y la fuerza centrípeta F_c = mv²/r

mv²/r = GMm/r²

v²/r = GM/r²

v²= GM/r       

(Obtenemos aquí una fórmula para la velocidad orbital v = √GM/r )

La velocidad orbital del planeta es el cociente entre la distancia recorrida en un periodo orbital y dicho periodo. Suponiendo que la órbita es circular la distancia recorrida es la longitud de la circunferencia del radio de la órbita, por tanto, v = 2πr/T. Introduciendo esta expresión en la fórmula anterior

(2πr/T)² = GM/r

4π²r²/T² = GM/r

T² = (4π²/GM)r³

que es la tercera ley de Kepler, T² = kr³, con k = 4π²/GM.

Paseo geométrico por Roma

Con motivo de la próxima visita de los alumnos de la 4º ESO a Roma  les invitamos a hacer el siguiente paseo geométrico por Roma.

Parada 1. "La escuela de Atenas" de Rafael. La obra al fresco con la que Rafael decoró uno de los muros de la sala de la Signatura, en las estancias papales del Vaticano, presenta a una serie de personajes, mitológicos e históricos, con los que el autor quiso dar idea de su concepción del mundo, del saber y de la importancia de la antigüedad.

A continuación se muestran los personajes representados, entre ellos los matemáticos Pitágoras y Euclídes y el astrónomo Tolomeo.

Parada 2. Doble escalera del Vaticano. Una escalera sirve para subir y otra, arrolla en hélice con la primera, sirve para bajar. La hélice es una curva matemática tridimensional que se caracteriza por una propiedad elemental: el ángulo que forma su tangente con el eje de la hélice es siempre el mismo. Es un caso de figura quiral, aquellos que no son superponibles con su imagen especular, como la mano izquierda humana, que no es superponible con su imagen especular (la mano derecha).

Parada 3.Panteón de Roma. El actual Panteón de Roma fue levantado en la época de Adriano (siglo II d.C.). El nombre de Panteón se dice que se debía a la gran cantidad de estatuas de dioses en su interior, aunque también pudo deberse a su forma esférica, que estaría en relación con la esfera celeste y se asociaría con los siete astros: la Luna, Marte, Mercurio, Júpiter, Venus, Saturno y el Sol, que a su vez corresponden con los siete días de las semana.

La cúpula interior de forma semiesférica tiene un óculo de unos 9 m de diámetro que proporciona una fuente de luz con forma de tronco de cono. En los días de lluvia el agua entra por el óculo y cae sobre los mosaicos del suelo. El charco formado refleja la cúpula, produciendo una visión en la que parcialmente se ve el reflejo de la cúpula completando la esfera.

La estructura geométrica del interior es una esfera tangente a un cilindro. El radio de la esfera es igual a la mitad de la altura del cilindro circunscrito. Llamando r al radio de la esfera, el cilindro circunscrito tendrá r como radio de la base, y 2r como altura. Si V_E y V_C son los volúmenes de la esfera y del cilindro se tiene que:

V_E = 4πr³/3

V_C  = A_base·h = πr²·2r = 2πr³

Por tanto, el volumen del cilindro circunscrito es las dos terceras partes del volumen de la esfera. Veamos que ocurre lo mismo con las superficies: 

S_E = 4πr²

S_C  = S_bases +  S_lateral = 2πr² + 2πr·2r = 6πr²

Aplicando estas fórmulas al Panteón (21,72 m), se obtienen las siguientes medidas interiores:

V_Panteón = ½ ( V_C + V_E ) = 5πr³/3 = 53651 m³

S_Panteón = ½ ( V_C + V_E ) = 5πr² = 7410 m²

Por tanto la superficie interior del Panteón, incluyendo la del suelo, es cinco veces la de este último, que es πr^{2 =} 1482 m² . 

Para ver el interior del Panteón de forma interactiva pincha aquí.

2012 II: año de centenarios

El año 2012 es el aniversario de los siguientes hechos:

• Bicentenario de la Constitución española de 1812, conocida como "La Pepa".

 

•  Centenario del atletismo (La Federación Internacional de Atletismo Aficionado cumple 100 años de su fundación).

• Bicentenario del nacimiento del escritor británico Charles Dickens (autor de Oliver Twist y Cuento de Navidad).

 

• 150 aniversario del nacimiento del pintor austriaco y pionero del arte moderno Gustav Klimt (autor del cuadro El Beso).

• Centenario del hundimiento del Titanic.

• Centenario de la publicación de Campos de Castilla de Antonio Machado.

• 50 aniversario de los Rolling Stones.

• Octavo centenario de la Batalla de Navas de Tolosa.

Este último centenario, el de la Batalla de Navas de Tolosa, permitirá a los madrileños contemplar el cuerpo de su santo San Isidro próximo 21 de enero de 2012 en la Colegiata de San Isidro el Real. Se afirma que el santo resucitó en 1812, 40 años después de su muerte, para dar al Rey Alfonso XIII algunas indicaciones sobre como ganar la batalla. 

 

El cuerpo de San Isidro yace actualmente en un féretro ornamentado de oro y plata en la Colegiata de San Isidro el Real (C/Toledo 37, cerca de la Plaza Mayor). Se dice que el cuerpo de San Isidro se mantiene incorrupto, es decir, que sin haber sido embalsamado, éste no se ha desintegrado y sólo se muestra en ocasiones excepcionales. El cuerpo fue expuesto en 1947, cuando los fieles lo extrajeron para perdir lluvia durante una sequía. Se expuso públicamente en 1969, con motivo del 350º aniversario de la beatificación de Isidro y en 1982, para celebrar el noveno centeario de su nacimiento.

2012: Es solo un día más.

- Entonces… ¿cómo es que termina en 2012?
- Se me acabó el espacio en la roca.
Al pie:  Por fin, el misterio del Calendario Maya revelado.

 Todos sabemos que el 2012 es un año bisiesto, que se añade un día más al año, el 29 de febrero. Pero, ¿por qué existen los años bisiestos? ¿Por qué se añade un día en 2012? ¿Cada cuántos años se tiene un año bisiesto?


El periodo de traslación de la Tierra, es decir, el tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol es 365 días 5 horas y 48 minutos, esto es aproximadamente un cuarto de día mayor que un año en el calendario (365 días).  Por lo tanto cada cuatro años la Tierra alcanza la misma posición relativa respecto del Sol un día después.  Esto supone que cada 360 años la Tierra alcanza la misma posición relativa 360/4 = 90 días después.  Por tanto, si no se introuduciera el 29 de febrero cada 4 años, el equinocio de primavera, que marca el comienzo de la primavera, se adelantaría 90 días, es decir, la primavera comenzaría el 31 de diciembre. 

La introducción de los años bisiestos fue llevada a cabo por el papa Gregorio XIII en su reforma del calendario en el Concilio de Nicea donde se determinó que la Pascua debía conmemorarse el domingo siguiente al plenilunio posterior al equinocio de primavera en el hemisferio norte (equinoccio de otoño en el hemisferio sur). Aquel año 325 el equinoccio había ocurrido el 21 de marzo pero con el paso del tiempo la fecha del acontecimiento se había ido adelantando hasta el punto de que en 1582, el desfase era ya de 10 días, y el equinoccio se fechó el 11 de marzo. 

La regla para los años bisiestos según el calendario gregoriano es la siguiente:

Un año es bisiesto si es divisible entre 4, excepto el último de cada siglo (aquel divisible por 100), salvo que este último sea divisible por 400.

 Es decir los años que sean divisibles por 4 serán bisiestos; aunque no serán bisiestos si son divisibles entre 100 (como los años 1700, 1800, 1900 y 2100) a no ser que sean divisibles por 400 (como los años 1600, 2000 ó 2400).

 
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Exposición sobre Leonardo Da Vinci

 

La exposición “Da Vinci, El Genio” es un proyecto generado por Canal de Isabel II, sobre la base de la creada por Grande Exhibitions, la Fundación Anthropos y Pascal Cotte, que nace con el objetivo de mostrar al público los aspectos menos conocidos de uno de los personajes más complejos de la Historia, Leonardo da Vinci. Para ello ha sido fundamental la colaboración de 29 prestigiosas instituciones y museos nacionales e internacionales que han cedido obras nunca antes expuestas en España.

Leonardo creó obras de belleza deslumbrante y al mismo tiempo, concibió terroríficas armas de guerra que traerían muerte y destrucción. Diseñó formas de llegar hasta el fondo del mar. Inventó máquinas de vuelo 400 años antes de que el hombre conquistase los cielos. Pero su legado cayó en el olvido durante siglos, permaneció en el ámbito de la especulación teórica sin llegar a la práctica… hasta ahora.

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Abracadabra. Ilusionismo y ciencia. Exposición en Cosmocaixa

La magia y el ilusionismo son los temas centrales de la exposición Abracadabra que consigue con creces su propósito de sorprender a todos los visitantes y hacerles cuestionar la realidad que percibimos.
Esta nueva propuesta de CosmoCaixa Madrid podrá disfrutarse hasta el próximo 15 de febrero de 2012.
El edificio de CosmoCaixa se encuentra situado en la calle Pintor Velázquez número 1, en el municipio de Alcobendas. La muestra se puede visitar ininterrumpidamente de martes a domingo desde las diez de la mañana hasta las 8 de la tarde.
El precio de la entrada general es de 3 euros. Sin embargo, existe una tarifa reducida para estudiantes, jubilados, niños y familias numerosas fijada en 2 euros.
Abracadabra es un ejercicio de re-aprendizaje, de poner nuestra mente a cero y empezar a comprender situaciones. En cierto modo es una terapia cognitiva, porque nos libera de la venda que llevamos no solo en los ojos.
La exposición impacta desde los primeros pasos del recorrido, ya que continuamente cuestiona la fiabilidad de nuestros sentidos.
El objetivo del divertido y ameno recorrido es demostrar precisamente que el ilusionismo y la magia aprovechan los fallos de nuestra vista, gusto, olfato y tacto, es decir, darnos cuenta de la imagen errónea que nuestro cerebro nos manda. La magia y la fantasía no son más que realidades mal entendidas.

Los sentidos aportan una información parcial de la realidad. Pero la percepción global se fabrica en el cerebro, donde se combina e integra toda esta información y se matiza con nuestras experiencias vividas y con nuestras expectativas futuras.
 La interpretación de la realidad se ha esculpido a través del tiempo para sobrevivir; sin embargo, está lejos de ser perfecta. Tal es el resquicio aprovechado por los magos desde hace siglos para crear ilusiones de una realidad falsa, una experiencia que nos deja perplejos y, con frecuencia, también con la boca abierta.
Esta exposición muestra la base científica del ilusionismo, es decir, de cómo crear la sensación de que lo imposible se hace altamente probable ante nuestros ojos.

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