Ecuaciones exponenciales y Parque Jurásico

En la década de 1950 Willar Libby ideó un ingenioso sistema para datar la edad aproximada de un fósil. El método de Libby se basaba en medir en el fósil la cantidad de carbono 14.  El C14  es un isótopo cuya cantidad es constante en la atmósfera terrestre. Los seres vivos incorporan a lo largo de su vida C14, ya sea a través de la respiración o al alimentarse de otros seres vivos. Esta cantidad también es constante en los organismos. Cuando un ser vivo muere termina la absorción de C14, reduciéndose la cantidad de éste por desintegración.

                Se sabe que el periodo de semidesintegración del C14 es de 5700 años, es decir, que cada 5 700 años, la cantidad  de C14 se reduce a la mitad.  Por tanto si un ser vivo al morir tiene una cantidad inicial C_o de carbono 14, al cabo de 5700 años la cantidad será de C_o/2, al cabo de 11400 años la cantidad será de C_o/4 y así sucesivamente:
 
            Años     Periodos de semidesintegración        Cantidad de carbono-14

              0                             0                                                      C_o

             5700                           1                                                     C_o/2= C_o·(1/2)¹

          11400                        2                                                     C_o/4 = C_o·(1/2)²

              17100                        3                                                     C_o/4 = C_o·(1/2)³

   Se deduce que la cantidad de C14 se halla multiplicando la cantidad inicial por 1/2 elevado al nº de periodos de semidesintegración.   

Al cabo de x años, el nº de periodos de semidesintegración transcurridos en eso años, se calcula dividiendo el nº de años entre 5700, x/5700, y la cantidad de C14 será:

C = C_o·(1/2)^x/5700

   Por ejemplo, para un fósil cuya proporción de C14 es de 0,03 respecto de la inicial, es decir, C/C_o = 0,03, se tiene que

  (1/2)^x/5700 = 0,03

     Se obtiene una ecuación exponencial que se resuelve tomando logaritmos a ambos miembros de la ecuación: 

  log (1/2)^x/5700 = log 0,03

Utilizando la propiedad de los logaritmos log aⁿ = n·loga, se obtiene

(x /5700)  log (1/2) = log 0,03   

Y por último despejando x

  

x= 5700 · log 0,03 /log (1/2) = 28836 

Por tanto, la edad aproximada del fósil es de 29000 años. 

El fósil humano más antiguo encontrado en Europa se halló en Atapuerca (http://www.atapuerca.tv/) y está datado en 1200000 años.

El fósil más antiguo encontrado en el mundo pertenece a una ballena que vivió hace 49 millones de años.