Probabilidad y "el Gordo" de Navidad

El aumento de números que se ha producido en esta edición del sorteo de Navidad (se ha pasado de los 85.000 números distintos  de 2010 a los 100.000 de 2011) ha disminuido aún más la probabilidad de que a una persona le toque uno de los premios. Sin embargo, cada año miles de personas siguen haciendo toda una serie de rituales supersticiosos para conseguir hacerse con "El Gordo". Con el recurso multimedia ‘Laboratorio básico de azar, probabilidad y combinatoria’, puedes experimentar con los conceptos probabilidad y combinatoria.


Calculemos la probabilidad de que toque "El Gordo". Según la regla de Laplace, la probabilidad de un suceso es A es el cociente entre el número de casos favorables al suceso A (en el caso del Gordo, uno, el número premiado) y el número total de casos posibles (100000, el número total de números).  Por tanto, la probabilidad es:

P(Gordo) = 1/100000 = 0,00001 = 0,0001% 

Podemos observar en la siguiente tabla que la probabilidad de que toque el Gordo es mayor que toque el premio máximo en el resto de loterías en España:

Sorteo       Probabilidad de premio máximoLotería de Navidad                      0.00001Euromillón                      0.00000000858 Primitiva                         0.00000007151 ONCE                                             0.00001 Quiniela                      0.0000000696917
Un concepto relacionado con el de probabilidad es el de esperanza matemática. La esperanza matemática es la relación entre el premio obtenido y probabilidad de acertar. Su cálculo es un poco más difícil. 
 En el caso de la Lotería de Navidad la esperanza es 0,7, ya que se reparte el 70% de la recaudación en premios. Eso significa que por cada euro jugado esperamos recuperar 70 céntimos. Es decir, se espera perder el 30% de lo que hayamos jugado. Evidentemente algunos ganan mucho dinero y otros no ganan nada, algunos pierden más del 30% de lo que han jugado y otros menos, pero de media todos perderemos el 30% del dinero invertido en este sorteo.
En la Primitiva, la esperanza matemática es 0,55 y en el Euromillón es 0,5.
Por tanto, ¿en qué sorteo es preferible jugar  tus ahorros? 

Parábolas, serpetina y villancicos

¿Cuál es la curva de la trayectoria que siguen Andrés y Fernando en su salto?

Observa la curva que traza la serpentina en la siguiente foto. ¿Te recuerda a alguna curva matemática?  

En los dos casos los movimientos son parabólicos, es decir, la trayectoria es una parábola.  Se puede demostrar utilizado las ecuaciones de la cinemática (MRU y MRUA). Recuerda que la ecuación de una parábola es y = ax² + bx + c.

El movimiento parabólico es un caso de movimiento compuesto: para estudiarlo es necesario descomponer el movimiento en dos  ejes, el eje horizontal (eje x) y el eje vertical (eje Y). El siguiente dibujo representa la trayectoria parabólica de un cuerpo que es lanzado con una velocidad inicial v_o y con un ángulo de inclinación sobre el eje horizontal  α.

La velocidad inicial en el eje x es v_ocosα y la velocidad inicial en el eje y es v_osenα. En el eje x no actúa ninguna fuerza desde que se inicia el movimiento, es un MRU, por lo tanto la velocidad es constante, pero en el eje y actúa la fuerza de la gravedad, es un MRUA con la aceleración de la gravedad g negativa. Por tanto las ecuaciones de las velocidades en los ejes x e y son: 

v_x= v_ocosα

V_y= v_osenα – gt

Teniendo en cuenta las ecuaciones de movimiento del MRU y MRUA, la trayectoria del movimiento parabólico viene dada por las siguientes ecuaciones:

x = x_o + v_ocosα t

y = y_o + v_o senα t -gt²/2

Tomando el origen de coordenadas en el punto inicial del salto, x_o = y_o = 0

x =  v_ocosα t

y =  v_o senα t -1gt²/2

Despejamos t en la ecuación de x y lo introducimos en la ecuación de y:

t = x/ v_ocosα  → y =  v_o senα x/( v_ocosα)  -1/2g(x/ v_ocosα) ²

Teniendo en cuenta que tgα = senα/cosα, la ecuación de  y en función de x es:

y = tgα x – gx²/(2 v_o² cos²α)

que es la ecuación de una parábola, con a = -g/(2 v_o² cos²α), b = tgα  y c = 0.

Observa que para valores pequeños de x (cerca del origen) y = tgα x, la trayectoria se aproxima a una recta cuya pendiente es tgα x.

Si quieres ver una animación interactiva del movimiento parabólico entra aquí.

El resto de fotos de la fiesta de Navidad del colegio La Milagrosa las puedes ver aquí.

En busca de la partícula perdida

Extra, Extra! Noticia de última hora:

Ginebra (Efe).- Los científicos del Centro Europeo Investigación Nuclear (CERN) que buscan el bosón de Higgs afirmaron este martes que es "demasiado pronto para sacar conclusiones" sobre la existencia o no de la llamada "partícula de Dios". "Se necesitan más datos y estudios, pero creo que los meses venideros serán apasionantes", dijo la portavoz de ATLAS, Fabiola Gianotti, en un seminario científico en la sede del CERN, en Ginebra.

Lee la noticia completa aquí.

¿Por qué es tan importante el bosón de Higgs?

La existencia del bosón de Higgs explica por qué las partículas (electrones, protones, neutrones, ...) tienen la masa que tienen. Es la única partícula del llamado Modelo Estándar –la teoría física que explica las partículas y sus interacciones- cuya existencia aún no se ha podido demostrar experimentalmente.
Es la principal pieza que falta para completar el puzle. Si se descubre, significará que la teoría actual que explica el Universo, aunque incompleta, es probablemente correcta. Si no se descubre, obligará a reconsiderar todo lo que se ha hecho en el último medio siglo en física de partículas.

Lee más sobre el bosón de Higgs aquí.

(Finalmente encontré el bosón de Higgs. Estuvo detras del sofá todo el tiempo)

Jeroglífico de Sheldon

Bajo presión en el Everest y en las Fosas Marianas

La profundidad de las Fosas Marianas es de 11000 m 

La presión en un líquido depende de la profundidad h en el interior del líquido según el Principio fundamental de la estática de fluidos: la presión en el interior de un líquido de densidad  d_l a una profundidad h es

P_líq = d_L· g · h

En las Fosas Marianas la presión es de 1072 atm, por lo que su profundidad es de

h = p_{Fosas Marianas}/d_{agua del mar} · g = 1072·101300/1030·9,8 = 10758 m

donde se ha introducido la densidad del agua del mar como 1030 Kg/m³.

La altitud del monte Everest es de 8848 m 

 La presión atmosférica depende de la altitud: a una altitud h sobre el nivel del mar es:

P_atm  = p_o – d_aire· g · h

donde  p_o es el valor de la presión atmosférica a nivel del mar (1 atm=101300 Pascales)

En la cima del Everest la presión atmosférica es aproximadamente un tercio de la presión del nivel del mar, por la tanto, utilizando la fórmula de la presión atmosférica, su altitud será de 

h =( p_o – p_Everest)/ d_aire· g = (101300 -101300/3)/1,29·9,8 = 5342 m

donde se ha introducido la densidad del aire como 1,29 Kg/m³.

La profundidad real de las Fosas Marianas de unos 11000 m, por lo que el cálculo es correcto, pero de todos es conocido que el Everest es uno de los catorce “ochomiles” de la Tierra, es decir, que su altitud es mayor que 8000 m. ¿Dónde está el fallo en el cálculo?

El fallo está en la densidad del aire. Mientras que la densidad del agua del mar es prácticamente constante en los océanos y mares, la densidad del aire en la atmósfera disminuye de forma cuantitativa a medida que aumenta la altitud. Otro factor que hace variar (en menor medida) la densidad del aire es la temperatura.

En la siguiente tabla se indica la densidad del aire para varias altitudes y temperaturas:  

		Densidad del aire  (Kg / m3)                Temperatura
Altitud (m)	0ºC	5ºC	10ºC	15 °C	25 °C
0	1,28	1,25	1,23	1,21	1,17
1000	1,14	1,12	1,1	1,08	1,05
2000	1,01	0,99	0,97	0,96	0,92
3000	0,87	0,86	0,84	0,83	0,8
4000	0,74	0,73	0,71	0,7	0,68
5000	0,61	0,6	0,58	0,57	0,56

En realidad, la montaña más alta de la Tierra no es el Everest, ni está en el Himalaya: se llama Mauna Kea y forma una de las islas Hawai. Si tenemos en cuenta que la base de Mauna Kea se encuentra sumergida en el fondo del oceáno Pacífico, a más de 6000 m, y que sobre el nivel del mar alcanza otros 4000 m de altura, el resultado es un desnivel de 10000 m, casí 1600 m más alta que el Everest.

Estelas estelares sobre Mauna Kea

La montaña y volcán más alto en el Sistema Solar está en el planeta Marte. Es llamado Monte Olimpo y tiene 24 kilómetros de altitud

El Monte Olimpo de Marte, el Monte Maxwell de Venus y el Monte Everest de la Tierra

                      

Bajo presión en el Everest y en las Fosas Marianas

Carreras en Google Maps

¿Cuántos metros recorrísteis los alumnos en la carrera de la Fiesta de La Milagrosa?

 Ahora puedes averiguarlo con Google Maps. Entra en Maps Labs (arriba a la derecha, en configuración). Selecciona Activar en la Herramienta de medición de distancias y después presiona Guardar cambios.  Desde este momento, un nuevo icono hará su aparición más abajo, a la izquierda de la información sobre la escala; presiona sobre la regla.

En el marco de la izquierda se te permitirá elegir entre los dos sistemas de medición más extendidos: métrico e imperial. El primero mostrará los resultados en metros y kilómetros, mientras que el segundo lo hará en pies y millas. Lo único que te falta es marcar los puntos haciendo clic en el mapa. Puedes marcar tantos como quieras, se irán uniendo mediante líneas rectas.

Busca el parque enfrente del colegio (C/ La Patilla) y marca el recorrido de la carrera:

Recorrido de la carrera en el Parque de la Patilla (Carabanchel)

¿Qué distancia obtienes? 

Si quieres calcular la velocidad a la que has hecho la carrera, utiliza la fórmula:

Velocidad = Distancia/Tiempo

Las fotos de la carrera y de la celebración posterior las puedes encontrar aquí

Plano inclinado, fuerza centrípeta y el Tornado del parque de atracciones

Solución al problema 4 del examen de Dinámica de F y Q 4º ESO: Plano Inclinado y El Tornado Del Parque de Atracciones

Concurso de Relatos Cortos DivulgaMAT 2011

Se abre el plazo de inscripción en el concurso de Relatos Cortos relacionados con las matemáticas. Estas son las bases:
DESTINATARIOS
Podrá participar cualquier persona, sin distinción de edad o nacionalidad. Cada concursante podrá enviar el número de originales que desee.
REQUISITOS
El relato deberá ser original e inédito y no podrá haber sido premiado en ningún otro concurso, ni podrá ser presentado a ningún otro concurso mientras este permanezca abierto.
CARACTERÍSTICAS DE LAS OBRAS
• El relato se presentará en formato DIN-A4, mecanografiado o confeccionado a ordenador a doble espacio y por una sola cara.
• Los relatos se presentarán necesariamente con un seudónimo. Se adjuntará un sobre cerrado, en cuyo exterior constará el título del relato y el seudónimo. En el interior de dicho sobre deben constar los datos siguientes: título del relato, nombre y apellidos, dirección, fecha de nacimiento, correo electrónico y teléfono de contacto del concursante.
PREMIOS
Se establece un primer premio dotado con 1.000 euros y dos Accésit dotados de lotes de 15 libros.
PLAZOS DE ENTREGA Y ENVÍO DE TRABAJOS
Los trabajos deberán remitirse a: Raúl Ibáñez Torres (Comisión de Divulgación de la RSME) Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencia y Tecnología Universidad del País Vasco Apdo. 644, 48080 Bilbao antes del 31 de enero de 2012.
Más info aquí
Aprovecho para recomendar la lectura de la novela El Teorema del Loro. La fórmula que aparece en la portada del libro es correcta, pero para incluir los 5 números más importantes de las matemáticas es mejor expresarla como

e^iπ +1 = 0

Resumen Estática de fluidos (F y Q 4º ESO)

FÍSICA Y QUÍMICA 4º ESO Temas 5

Sucesiones, conejos y la Quinta Sinfonía de Beethoven

Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci propuso en 1228 el siguiente problema:

"Alguien puso en un corral una pareja de conejos recién nacidos con el propósito de averiguar cuántas parejas habrá al cabo de un año. La prolífica naturaleza de estos animalitos indica que cada pareja recién nacida requiere un mes de maduración, durante el cual no se reproduce, pero al finalizar el segundo mes da a luz una nueva pareja, y luego sigue pariendo cada mes otra pareja. ¿Cuántas parejas habrá al término de un año, suponiendo que ningún conejo muere en esta feliz experiencia?" 

La solución es la siguiente: al empezar tenemos una pareja. Al finalizar el primer mes seguimos con una sola pareja. Al término del segundo mes, el corral ya cuenta con 2 parejas. Al cabo del tercer mes la pareja inicial da a luz otra pareja: ya hay 3 parejas una nueva. Al final del cuarto mes, procrea la pareja inicial y la primogénita: tenemos 5 parejas. Al final del quinto mes: 8 parejas y así sucesivamente. Al culminar el año (12 meses) el corral tendrá 233 parejas de conejos.

El número de parejas de conejos cada mes corresponde a la siguiente sucesión: 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 293, ...

Esta sucesión es conocida como sucesión de Fibonnaci, y cada término de la sucesión se obtiene sumando los dos términos anteriores. 

Los términos de la sucesión de Fibonacci aparece en más casos de la Naturaleza:

•    Las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números.
• El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144.
•  Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales.
• Las plantas de aloe y las piñas presenta siempre un número de espirales
  que coincide con los términos de la sucesión.

 

 
 


Parece que el mundo vegetal tenga programado en sus códigos genéticos
del crecimiento los términos de la sucesión de Fibonacci.


El término general de la sucesión de Fibonacci es 

En él aparece el denominado número áureo

 El número áureo aparece en los siguientes casos: 

• La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
• La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos
• La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
• La relación entre las divisiones vertebrales.
• La relación entre las articulaciones de las manos y los pies.
• La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón de Atenas.
• En los violines, la ubicación de las efes (los “oídos”, u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.
• El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci, entre otros.
• Las relaciones entre articulaciones en el hombre de Vitruvio y en otras obras de Leonardo da Vinci.
• En la concha del nautilus.
• En las estructuras formales de las sonatas de Mozart y en la Quinta Sinfonía de Beethoven.

 

                                                                       

Sucesiones, conejos y la Quinta Sinfonía de Beethoven