Parábolas, serpetina y villancicos

¿Cuál es la curva de la trayectoria que siguen Andrés y Fernando en su salto?

Observa la curva que traza la serpentina en la siguiente foto. ¿Te recuerda a alguna curva matemática?  

En los dos casos los movimientos son parabólicos, es decir, la trayectoria es una parábola.  Se puede demostrar utilizado las ecuaciones de la cinemática (MRU y MRUA). Recuerda que la ecuación de una parábola es y = ax² + bx + c.

El movimiento parabólico es un caso de movimiento compuesto: para estudiarlo es necesario descomponer el movimiento en dos  ejes, el eje horizontal (eje x) y el eje vertical (eje Y). El siguiente dibujo representa la trayectoria parabólica de un cuerpo que es lanzado con una velocidad inicial v_o y con un ángulo de inclinación sobre el eje horizontal  α.

La velocidad inicial en el eje x es v_ocosα y la velocidad inicial en el eje y es v_osenα. En el eje x no actúa ninguna fuerza desde que se inicia el movimiento, es un MRU, por lo tanto la velocidad es constante, pero en el eje y actúa la fuerza de la gravedad, es un MRUA con la aceleración de la gravedad g negativa. Por tanto las ecuaciones de las velocidades en los ejes x e y son: 

v_x= v_ocosα

V_y= v_osenα – gt

Teniendo en cuenta las ecuaciones de movimiento del MRU y MRUA, la trayectoria del movimiento parabólico viene dada por las siguientes ecuaciones:

x = x_o + v_ocosα t

y = y_o + v_o senα t -gt²/2

Tomando el origen de coordenadas en el punto inicial del salto, x_o = y_o = 0

x =  v_ocosα t

y =  v_o senα t -1gt²/2

Despejamos t en la ecuación de x y lo introducimos en la ecuación de y:

t = x/ v_ocosα  → y =  v_o senα x/( v_ocosα)  -1/2g(x/ v_ocosα) ²

Teniendo en cuenta que tgα = senα/cosα, la ecuación de  y en función de x es:

y = tgα x – gx²/(2 v_o² cos²α)

que es la ecuación de una parábola, con a = -g/(2 v_o² cos²α), b = tgα  y c = 0.

Observa que para valores pequeños de x (cerca del origen) y = tgα x, la trayectoria se aproxima a una recta cuya pendiente es tgα x.

Si quieres ver una animación interactiva del movimiento parabólico entra aquí.

El resto de fotos de la fiesta de Navidad del colegio La Milagrosa las puedes ver aquí.