Newton demuestra a Kepler su ley

Isaac Newton

Johannes Kepler

Veamos cómo se demuestra a partir Ley de gravitación universal (LGU) de Newton la Tercera ley de Kepler (los cuadrados de los periodos de los planetas son proporcionales a los cubos de los radios de sus órbitas). Según la LGU la fuerza gravitatoria entre el Sol de masa M y un planeta de masa m que orbita alrededor de él en una órbita circular de radio r es  

F_g= GMm/r²

Igualando la fuerza gravitatoria y la fuerza centrípeta F_c = mv²/r

mv²/r = GMm/r²

v²/r = GM/r²

v²= GM/r       

(Obtenemos aquí una fórmula para la velocidad orbital v = √GM/r )

La velocidad orbital del planeta es el cociente entre la distancia recorrida en un periodo orbital y dicho periodo. Suponiendo que la órbita es circular la distancia recorrida es la longitud de la circunferencia del radio de la órbita, por tanto, v = 2πr/T. Introduciendo esta expresión en la fórmula anterior

(2πr/T)² = GM/r

4π²r²/T² = GM/r

T² = (4π²/GM)r³

que es la tercera ley de Kepler, T² = kr³, con k = 4π²/GM.