Paseo geométrico por Roma

Con motivo de la próxima visita de los alumnos de la 4º ESO a Roma  les invitamos a hacer el siguiente paseo geométrico por Roma.

Parada 1. "La escuela de Atenas" de Rafael. La obra al fresco con la que Rafael decoró uno de los muros de la sala de la Signatura, en las estancias papales del Vaticano, presenta a una serie de personajes, mitológicos e históricos, con los que el autor quiso dar idea de su concepción del mundo, del saber y de la importancia de la antigüedad.

A continuación se muestran los personajes representados, entre ellos los matemáticos Pitágoras y Euclídes y el astrónomo Tolomeo.

Parada 2. Doble escalera del Vaticano. Una escalera sirve para subir y otra, arrolla en hélice con la primera, sirve para bajar. La hélice es una curva matemática tridimensional que se caracteriza por una propiedad elemental: el ángulo que forma su tangente con el eje de la hélice es siempre el mismo. Es un caso de figura quiral, aquellos que no son superponibles con su imagen especular, como la mano izquierda humana, que no es superponible con su imagen especular (la mano derecha).

Parada 3.Panteón de Roma. El actual Panteón de Roma fue levantado en la época de Adriano (siglo II d.C.). El nombre de Panteón se dice que se debía a la gran cantidad de estatuas de dioses en su interior, aunque también pudo deberse a su forma esférica, que estaría en relación con la esfera celeste y se asociaría con los siete astros: la Luna, Marte, Mercurio, Júpiter, Venus, Saturno y el Sol, que a su vez corresponden con los siete días de las semana.

La cúpula interior de forma semiesférica tiene un óculo de unos 9 m de diámetro que proporciona una fuente de luz con forma de tronco de cono. En los días de lluvia el agua entra por el óculo y cae sobre los mosaicos del suelo. El charco formado refleja la cúpula, produciendo una visión en la que parcialmente se ve el reflejo de la cúpula completando la esfera.

La estructura geométrica del interior es una esfera tangente a un cilindro. El radio de la esfera es igual a la mitad de la altura del cilindro circunscrito. Llamando r al radio de la esfera, el cilindro circunscrito tendrá r como radio de la base, y 2r como altura. Si V_E y V_C son los volúmenes de la esfera y del cilindro se tiene que:

V_E = 4πr³/3

V_C  = A_base·h = πr²·2r = 2πr³

Por tanto, el volumen del cilindro circunscrito es las dos terceras partes del volumen de la esfera. Veamos que ocurre lo mismo con las superficies: 

S_E = 4πr²

S_C  = S_bases +  S_lateral = 2πr² + 2πr·2r = 6πr²

Aplicando estas fórmulas al Panteón (21,72 m), se obtienen las siguientes medidas interiores:

V_Panteón = ½ ( V_C + V_E ) = 5πr³/3 = 53651 m³

S_Panteón = ½ ( V_C + V_E ) = 5πr² = 7410 m²

Por tanto la superficie interior del Panteón, incluyendo la del suelo, es cinco veces la de este último, que es πr^{2 =} 1482 m² . 

Para ver el interior del Panteón de forma interactiva pincha aquí.